Question

設函數。
（1）求函數的最小值；
（2）設，討論函數的單調性；
（3）斜率為的直線與曲線交于,兩點，求證：。

Answer 1

（1）．（2）當a≥0時，F（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a＜0時，F（x）在上單調遞增，在上單調遞減．（3）構造函數利用函數的單調性證明不等式

試題分析：（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．
∵當時，f'（x）＜0；當時，
f'（x）＞0，
∴當時，．                 4分
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．
①當a≥0時，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函數；
②當a＜0時，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．
綜上，當a≥0時，F（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a＜0時，F（x）在上單調遞增，在上單調遞減．    8分
（3）．
要證，即證，等價于證，令，
則只要證，由t＞1知lnt＞0，
故等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①設g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，
故g（t）在[1，+∞）上是增函數，
∴當t＞1時，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②設h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數，
∴當t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得證．                 12分
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點