Question

如圖，在單位圓和x軸上各有動點A、B，它們的初始位置都在單位圓和x軸的交點P₀處，A處沿逆時針方向旋轉θ=

π

4

得到A₁，B點沿x軸正方向移動θ=

π

4

個單位得到B₁，分別過A₁、B₁作x軸的平行線和垂線相交于P₁（x₁，y₁），A₁點再沿逆時針方向旋轉θ=

π

4

得到A₂，B₁點沿x軸正方向移動θ=

π

4

個單位得到B₂，分別過A₂、B₂作x軸的平行線和垂線相較于P₂（x₂，y₂），…，如此下去得到P_n（x_n，y_n）（n為正整數）

（1）求點P₁的坐標；
（2）計算：y₁+y₂+…+y₂₀₁₁的值；
（3）由點P₀，P₁，…P_n連成的折線與x軸、P_nB_n所圍成的區域面積記為S_n，求S₈．

Answer 1

分析：（1）根據定義求P₁的坐標．
（2）根據定義尋找y_n的規律，得到縱坐標取值的周期性，并根據規律進行求和．
（3）確定折現對應的圖形，利用三角形或梯形的面積公式求面積．

解答：解：（1）根據定義
可知點P₁的橫坐標x=1+

π

4

，
縱坐標為y=1×sin

π

4

=

2

2

，
即P₁的坐標：(1+

π

4

，

2

2

)．
（2）由定義可知，A沿逆時針方向旋轉θ=

π

4

后，
得到每個點的縱坐標分別為

2

2

，1，

2

2

，0，-

2

2

，-1，-

2

2

，0，

2

2

，1，

2

2

，0，…，體現了周期性，周期數為8．
且在一個周期內的和為

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
所以y₁+y₂+…+y₂₀₁₁=y1+y2+y3=

2

2

+1+

2

2

=1+

2

．
（3）由題意知當n=8時，點A沿著單位圓運動一周，此時對應的折現面積上下兩部分相同．
所以S8=2(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2+S梯形P2B2B3P3+S△P3B3P4)
=4(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2)=4[

1

2

×

π

4

×

2

2

+

( 2 2 +1)× π 4

2

]
=

2 π

4

+

2 π

4

+

π

2

=

2 π

2

+

π

2

=

2 +1

2

π．

點評：本題主要考查了新定義，考查學生閱讀和分析問題的能力，綜合性較強，難度較大．