Question

已知映射f：A→B，A=R⁺，B=R，f：x→y=lnx+

1

x

，若k∈B，且k在A中沒有原象，則k的取值范圍是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：由題意可得，k在函數y=lnx+

1

x

的值域的補集中，利用導數可得函數的單調性，進而求出函數的值域，則值域的補集即為所求．

解答：解：∵f：A→B，A=R⁺，B=R，f：x→y=lnx+

1

x

，若k∈B，且k在A中沒有原象，
k在函數y=lnx+

1

x

的值域的補集中，下面求函數y=lnx+

1

x

的值域．
函數的導數y′=

1

x

-

1

x2

，令y′=0，x=1．
在（0，1）上，y′＜0，函數單調遞減，在（1，+∞）上，y′＞0，函數單調遞增，故x=1時，函數有最小值為1，
∴函數的值域為[1，+∞）．
∴值域的補集為 （-∞，1]，故k的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為（-∞，1]．

點評：本題主要考查映射的定義，求出函數y=lnx+

1

x

的值域，是解題的關鍵，屬于基礎題．