Question

（（本小題滿分12分）
已知x>，函數f（x）＝，h（x）＝2e lnx（e為自然常數）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，則稱函數h（x）的圖象為函數f（x），g（x）的“邊界”．已知函數g（x）＝－4＋px＋q（p，q∈R），試判斷“函數f（x），g（x）以函數h（x）的圖象為邊界”和“函數f（x），g（x）的圖象有且僅有一個公共點”這兩個條件能否同時成立?若能同時成立，請求出實數p、q的值；若不能同時成立，請說明理由．

Answer 1

解：⑴證明：記，
則，----------------2分
令，注意到，可得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．-------4分
，即，
所以．　--------------------------------5分
⑵由⑴知，對恒成立，當且僅當時等號成立，
記，則
“恒成立”與“函數的圖象有且僅有一個公共點”同時成立，
即對恒成立，當且僅當時等號成立，
所以函數在時取極小值，------------------------7分
注意到，
由，解得，------------------------9分
此時，
由知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
即=0，，--------11分
綜上，兩個條件能同時成立，此時．--------12分

略