Question

已知冪函數為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調遞減函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）討論的奇偶性．

Answer 1

【答案】分析：（1）由冪函數f（x）為（0，+∞）上遞減，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因為m為整數故m=0，1或2，又通過函數為偶函數，推知m²-2m-3為偶數，進而推知m²-2m為奇數，進而推知m只能是1，把m代入函數，即可得到f（x）的解析式．
（2）把f（x）的解析式代入F（x），得到F（x）的解析式．然后分別討論a≠0且b≠0時，a=0且b≠0時，a≠0且b=0時，a=b=0時，函數的奇偶性．
解答：解：（1），由題意知m（m-2）為奇數又m∈z
且f（x）在（0，+∞）上遞減，
∴m=1，?f（x）=x^-4
（2）
∵y=x^-2是偶函數，y=x³是奇函數
①a≠0且b≠0時，F（x）為非奇非偶函數；
②a=0且b≠0時，F（x）為奇函數；
③a≠0且b=0時，F（x）為偶函數；
④a=b=0時，F（x）為奇且偶函數
點評：本題主要考查了函數單調性和奇偶性的綜合應用．要理解好函數單調性和奇偶性的定義并能靈活利用．