Question

已知α、β≠kπ+

π

2

(k∈Z)，且sinθ+cosθ=2sinα ， sinθcosθ=sin2β．求證：

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

．

Answer 1

分析：先左減右并把正切用正弦以及余弦表示出來，整理得到1-2sin²α-

1-2sin 2β

2

；再結合sinθ+cosθ=2sinα以及sinθ•cosθ=sin²β  消去θ即可得到結論．

解答：證明：左減右得：

1-tan 2α

1+tan 2α

-

1-tan 2β

2(1+tan 2β)

=

1- sin 2α cos 2α

1+ sin 2α  cos  2α

-

1- sin 2β cos 2β

2(1+ sin 2β cos 2β )

=cos²α-sin²α-

cos 2β -sin 2β

2

=1-2sin²α-

1-2sin 2β

2

．①
∵sinθ+cosθ=2sinα   ②
sinθ•cosθ=sin²β   ③
∴②²=1+2×③得：4sin²α=1+2sin²β，代入①得：①式等0．
即左邊等于右邊．
故結論得證．

點評：本題主要考查三角函數恒等式的證明．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．