Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（Ⅰ）設，試求函數的表達式；

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區(qū)間內總存在個實數，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

【解析】

（Ⅲ）解法1是考慮到函數在上單調遞增這個性質，利用，利用同向不等式相加性得到

，結合

 

 ，

 ∴切線的方程為：，

又切線過點，

，

把（ * ）式代入,得,

化簡，得，

，．    （3）

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得點、與三點共線，且 ．

（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數，

，

則．

．