Question

已知函數的圖象關于直線y=x對稱．
（1）求實數b的值；
（2）設A、B是函數圖象上兩個不同的定點，記向量，試證明對于函數圖象所在的平面里任一向量，都存在唯一的實數λ₁、λ₂，使得成立．

Answer 1

解：（1）∵函數的圖象關于直線y=x對稱，
∴當點在函數的圖象上時，點也在函數的圖象上，即，化簡，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此關于x₀的方程對的實數均成立，即方程的根多于2個，
∴，解之，得b=-1．
（2）由（1）知，，又點A、B是該函數圖象上不同兩點，則它們的橫坐標必不相同，于是，可設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以都是非零向量．
又=
∴y₁≠y₂，
∴與不平行，
即與為函數圖象所在坐標平面上所有向量的一組基．
根據平面向量的分解定理，可知，函數圖象所在的平面上任一向量，都存在唯一實數λ₁、λ₂，使得成立．
分析：（1）由已知中函數的圖象關于直線y=x對稱，故點在函數的圖象上時，點也在函數的圖象，代入即可構造關于b的方程組，解方程組，即可得到答案．
（2）若要證明對于函數圖象所在的平面早任一向量，都存在唯一的實數λ₁、λ₂，使得成立，即證明向量不共線．
點評：本題考查的知識點是函數的圖象的對稱性質，平面向量的基本定理及其意義，其中（1）的關鍵是要根據已知條件構造關于b的方程組，（2）的關鍵是理解向量，為平面內的一組基底，兩向量不共線．