Question

已知a＞0，bR，函數．
(Ⅰ)證明：當0≤x≤1時，
(ⅰ)函數的最大值為|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析；
(Ⅱ) ．

本題主要考察不等式，導數，單調性，線性規劃等知識點及綜合運用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ)．
當b≤0時，＞0在0≤x≤1上恒成立，
此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；
當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，
此時的最大值為：
＝|2a－b|﹢a；
綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a．
亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵，∴令．
當b≤0時，＜0在0≤x≤1上恒成立，
此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；
當b＜0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，


≤|2a－b|﹢a；
綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a，
且函數在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b為縱軸，a為橫軸．
則可行域為：和，目標函數為z＝a＋b．
作圖如下：
由圖易得：當目標函數為z＝a＋b過P(1，2)時，有，．
∴所求a＋b的取值范圍為：．