Question

如圖所示，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC； (2)求證：平面ABC⊥平面APC.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需在平面內(nèi)找一條 直線與之平行，由已知得是的中位線，所以，進(jìn)而證明平面；（2）要證明面面垂直，只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的一條垂線即可，由等邊三角形及為的中點(diǎn)，則，進(jìn)而說明，進(jìn)而說明平面，則有，又由已知可證平面，進(jìn)而證明結(jié)論.
試題解析：(1)由已知，得是的中位線，所以，又平面，平面，故平面.
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fc/a/cfdej.png" style="vertical-align:middle;" />為正三角形，為的中點(diǎn)，所以.所以.又
所以平面.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/lcaiv1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以.又 所以平面.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/lcaiv1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面⊥平面.
考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判定；2、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)；3、面面垂直的判定.