Question

已知數列（a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

a_n，數列{b_n}滿足nb_n=a_n（n∈N^*）．
（1）證明數列{b_n}是等比數列，并求其通項公式：
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n
（3）在（2）的條件下，若集合{n|

(n2+n)(2-Sn)

n+2

≥λ，n∈N^*}=∅．求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的定義證明數列是等比數列，求出首項和公比即可求等比數列的通項公式．
（2）由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．利用“錯位相減法”即可得到S_n
（3）由S_n得|

(n2+n)(2-Sn)

n+2

=

n2+n

2n

，令cn=

n2+n

2n

，由題意可知：只需λ＞c_nmax．利用c_n+1-c_n=

(n+1)(2-n)

2n+1

．研究其單調性即可得出數列{c_n}的最大項為c₂或c₃．即可得到實數λ的取值范圍．

解答：（1）證明：∵數列{b_n}滿足nb_n=a_n（n∈N^*），得bn=

an

n

．由a_n+1=

n+1

2n

a_n，可得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，∴bn+1=

1

2

bn．
又b1=a1=

1

2

，∴數列{b_n}是等比數列，首項為

1

2

，公比為

1

2

，
∴bn=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）解：由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

2+n

2n

．
（3）由S_n=2-

2+n

2n

，得|

(n2+n)(2-Sn)

n+2

=

n2+n

2n

，令cn=

n2+n

2n

，
由題意可知：只需λ＞c_nmax．
∵c_n+1-c_n=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

．
當n≥3時，c_n＞c_n+1，∴c₃＞c₄＞c₅＞…，而c₁＜c₂=c₃，
∴數列{c_n}的最大項為

3

2

．
∴實數λ的取值范圍是(

3

2

，+∞)．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、數列的恒成立問題的等價轉化、數列的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．