Question

已知函數定義在(―1，1)上，對于任意的，有，且當時，。

(1)驗證函數是否滿足這些條件；

(2)判斷這樣的函數是否具有奇偶性和單調性，并加以證明；

(3)若，求方程的解。

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）奇函數，，證明詳見解析；（3）x=

【解析】

試題分析：(1)只要把x、y、代入函數解析式化簡即可得：，然后驗證定義域范圍符合即可；

（2）可以根據函數的奇偶性和單調性的定義，并利用賦值法，變量代換的方法得到f(－x)=－f(x)為奇函數和、時為減函數；

（3）利用奇函數和，得到和，代入已知方程即可解決.

試題解析：（1） ∴－1<x<1即定義域為(－1,1)

∴成立

4分

（2）令x=y=0，則f(0)=0，令y=－x則f(x)+f(－x)=0

∴f(－x)=－f(x)為奇函數

任取、

8分

（3）∵f(x)為奇函數 ∴

由

∵f(x)為(－1，1)上單調函數 13分

考點：函數性質的綜合應用.