Question

設定義在[a，b]（a≥-4）上的函數f（x），若函數g(x)=f(

x+4

+2m)與f（x）的定義域與值域都相同，則實數m的取值范圍為______．

Answer 1

令t=

x+4

+2m，由題意知函數t=

x+4

+2m的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4）
又函數t=

x+4

+2m在定義域內為增函數，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，即方程

x+4

+2m=x在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根．
如圖，構造函數y=

x+4

，y=x-2m則可知直線與拋物線相切時，兩函數圖象有一個交點，過點（-4，0）時，有兩個交點．
當直線與拋物線相切時，

x+4

=x-2m，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴m=-

17

8

當直線過點（-4，0）時，-4-2m=0，∴m=-2
根據圖象可知，實數m的取值范圍為(-

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8

，-2]
故答案為：(-

17

8

，-2]