Question

（2012•寧國市模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（

3

2

，

6

），它的焦距為2，它的左、右頂點分別為A₁，A₂，P₁是該橢圓上的一個動點（非頂點），點P₂ 是點P₁關于x軸的對稱點，直線A₁P₁與A₂P₂相交于點E．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）求點E的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定焦點坐標，再利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（

3

2

，

6

），即可求橢圓標準方程；
（Ⅱ）利用參數法求點E的軌跡方程．求出A₁P₁的方程、A₂P₂的方程，再利用點P₁（x₁，y₁）在橢圓

x2

9

+

y2

8

=1上，即可求得點E（x，y）的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，2c=2得c=1，…（1分），F₁（-1，0），F₂（1，0）
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（

3

2

，

6

），
∴|MF₁|+|MF₂|=2a，∴a=3…（3分），
∴b²=a²-c²=8
∴所求橢圓標準方程為

x2

9

+

y2

8

=1…（5分）  
（Ⅱ）A₁（-3，0），A₂（3，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，-y₂），（x₁≠0，|x₁|＜3）
A₁P₁的方程：

y

y1

=

x+3

x1+3

…①，A₂P₂的方程：

y

-y1

=

x-3

x1-3

…②…（7分）
①×②得

y2

- y 2 1

=

x2-9

x 2 1 -9

…③，
因為點P₁（x₁，y₁）在橢圓

x2

9

+

y2

8

=1上，
所以

x 2 1

9

+

y 2 1

8

=1即

y

2 1

=

8(9- x 2 1 )

9

代入③得

x2

9

-

y2

8

=1，
又P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，-y₂）是橢圓上非頂點，知x≠±3，所以點E（x，y）的軌跡方程

x2

9

-

y2

8

=1（x≠±3）

點評：本題綜合考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查軌跡方程的求解，（Ⅱ）中求方程消參是解題的關鍵．