Question

在平面直角坐標系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標;
(2)若,求證：直線恒過定點；
(3)當時，設圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

Answer 1

（1）準線方程：，焦點坐標；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）根據拋物線標準方程確定焦點在哪個軸上及開口方向，焦點為，準線方程為；（2）本題實質是直線與拋物線相交問題，一般是設直線方程為，與拋物線方程聯立方程組，消去可得，再設，則有，，而，把剛才求出的代入可得的關系，本題中求得為常數，因此直線A一定過定點；（3）由（2）利用可求出的關系式，
，則，而直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，由題意，作為關于的方程，此方程只有兩解，設，則有，由于在時是減函數，且，即函數在時遞減，在時遞增，因此為了保證有兩解，即只有一解，故要求.
試題解析：（1）準線方程：    +2分   焦點坐標：   +4分
（2）設直線方程為 ,
 得        +6分
      +8分
  直線 過定點（0，2）   +9分
（3）      +11分
  +12分     令
  當時， 單調遞減，  +13分
當時， 單調遞增，   +14分
存在兩解即一解           +16分