Question

（本小題滿分16分）
已知，，且直線與曲線相切．
（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（2）當時，求最大的正整數，使得對（是自然對數的底數）內的任意個實數都有成立；
（3）求證：．

Answer 1

（1）設點為直線與曲線的切點，則有
．     （*）
，． （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．   
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．
設，，
，當時，，則是增函數，
，是增函數，，．
因此，實數的取值范圍是．
（2）當時，
，在上是增函數，在上的最大值為．
要對內的任意個實數都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．
，解得．因此，的最大值為． 
（3）證明：當時，得出． 令，   
化簡得，
得出．

解析試題分析：（1）設點為直線與曲線的切點，則有
．     （*）
，． （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．   
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．
設，，
，當時，，則是增函數，
，是增函數，，．
因此，實數的取值范圍是．
（2）當時，
，在上是增函數，在上的最大值為．
要對內的任意個實數都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．
，解得．因此，的最大值為． 
（3）證明：當時，根據（1）的推導有，時，，
即． 令，得，   
化簡得， 
． 
考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性及極值，證明不等式。
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構造新函數，研究其單調性及最值，而達到目的。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。