Question

（2006•崇文區一模）已知f（x）=ax³+x²+cx是定義在R上的函數，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是減函數，在[0，2]上是增函數．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范圍；
（III）在函數f（x）的圖象上是否存在一點M（x₀，y₀），使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求函數f（x）的導函數f′（x），由f（x）在[-1，0]上是減函數，在[0，2]上是增函數知x=0為函數的一個極值點，由此列方程f′（0）=0即可解得c的值
（II）將函數f（x）的單調性，轉化為函數f′（x）的零點分布問題，f（x）在[0，2]上是增函數，在[4，5]上是減函數，說明f′（x）的正零點在[2，4]內，解不等式即可
（III）假設存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，則f′（x₀）=3有解，而根據（II）問的計算，此方程的判別式小于零，故而無解，故此點不存在

解答：解：（I）對函數f（x）=ax³+x²+cx求導數，得，f′（x）=3ax²+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是減函數，在[0，2]上是增函數
∴函數f（x）在x=0處有極小值，
∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax³+x²，∴f′（x）=3ax²+2x
令f′（x）=0，解得x1=0，x2=-

2

3a

∵f（x）在[0，2]上是增函數，在[4，5]上是減函數
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x₂∈[2，4]
即

- 2 3a ≥2 - 2 3a ≤4

∴-6≤

1

a

≤-3
∴-

1

3

≤a≤-

1

6

（III）假設存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，
則f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a
∵-

1

3

≤a≤-

1

6

∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0無實數根
∴f′（x₀）=3不成立
∴不存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3．

點評：本題考查了導數在函數單調性和極值中的應用，函數與其導函數的圖象性質間的關系，導數的幾何意義等知識