Question

關于x的不等式（k-1）x²+（k-3）x+（k-2）＞0的解是一切實數的條件

 

．

Answer 1

分析：分三種情況k-1=0，k-1＞0，k-1＜0討論要使x取任意實數時，令f（x）=（k-1）x²+（k-3）x+（k-2）的增減性得到k的取值即可．

解答：解：①當k=1時，得到-2x-1＞0，解得x＜-

1

2

與解為一切實數矛盾，所以k≠1．
②當k-1＞0即k＞1時，設f（x）=（k-1）x²+（k-3）x+（k-2）為開口向上的拋物線，要使x取任意實數時，f（x）＞0即△＜0
即（k-3）²-4（k-1）（k-2）＜0解得：k＞

7

3

；
③當k-1＜0即k＜1時，f（x）=（k-1）x²+（k-3）x+（k-2）為開口向下的拋物線，要使x取任意實數時，f（x）＞0不成立．
綜上，當k＞

7

3

時，不等式的解是一切實數．
故答案為k＞

7

3

點評：考查學生利用分類討論的數學思想解決問題的能力，理解函數恒成立時取條件的能力，以及研究二次函數圖象性質的能力．