Question

如圖，給出定點(diǎn)A(a，0)  (a>0，a≠1)和直線l：x=－1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系．

Answer 1

答案見解析

解法一：依題意，記B(－1，b) (b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx．設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得．                           ①              ——4分

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有
．                    ——6分
由 x－a≠0，得 ．                  ②
將②式代入①代得
，
整理得y²[(1－a)x²－2ax+(1+a)y²]=0．                                 ——9分
若y≠0，則(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0<x<a)；
若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式．
綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為
(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0≤x<a)．               ——10分
∵a≠1，
∴    (0≤x<a)．        ③               ——12分
由此知，當(dāng)0<a<1時(shí)，方程③表示橢圓弧段；
當(dāng)a>1時(shí)，方程③表示雙曲線一支的弧段．                             ——14分
解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足．
(ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則0<x<a，y≠0．
由CE∥BD得 ．                      ——3分
∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，
∴ 2∠COA=π－∠BOD．
∵          ——6分
．
∴
整理得(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0<x<a)．                             ——9分
(ⅱ) 當(dāng)|BD|=0時(shí)，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式．
綜合(ⅰ)，(ⅱ)，得點(diǎn)C的軌跡方程為
(1－a)x²－2ax+(1+a)y²="0 " (0≤x<a)．             ——10分
以下同解法一．