Question

設f（x）=

x

，g（x）=-x+a（a＞0）
（1）若F（x）=f（x）+g（x），試求F（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）設G（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) {g(x)，f(x)＜g(x)

，試求a的值，使G（x）到直線x+y-1=0距離的最小值為

2

；
（3）若不等式|

f(x)+a[g(x)-2a]

f(x)

|≤1對x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出F（x）=f（x）+g（x），的解析式，是一個關于

x

的二次函數(shù)，對其配方后再由二次函數(shù)的性質研究其單調性，求出單調區(qū)間；
（2）根據(jù)G（x）的解析式作出圖象的示意圖，根據(jù)幾何意義判斷出G（x）圖象上的點到直線x+y-1=0距離的最小值在點P處取到，由此建立起距離最小值的方程，求出a的值；
（3）不等式|

f(x)+a[g(x)-2a]

f(x)

|≤1對x∈[1，4]恒成立，可通過等價變形逐步探究得出

a(2+ a 2 ) ≤2 a(1+a)≤2 a＞0

，解出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵F（x）=f（x）+g（x）=-x+

x

+a=-（

x

-

1

2

）²+a+

1

4

，
易得當

x

≥

1

2

，即x∈[

1

4

，+∞）時，F(xiàn)（x）單調遞減
即函數(shù)的單調遞減區(qū)間是[

1

4

，+∞）
（2）G（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) {g(x)，f(x)＜g(x)

，其圖象如圖，
由圖象得，所求的最小值即為點P到直線的距離，亦即兩平行線x+y-1=0與x+y-a=0之間的距離
由

|a-1|

2

=

2

，且a＞1，得a=3
（3）由|

f(x)+a[g(x)-2a]

f(x)

|≤1得|

x  -a(x+a)

x

| =|1-a(

x

+

a

x

)|≤1
即-1≤1-a(

x?

+

a

x?

)≤1
即0≤a(

x?

+

a

x?

)≤2對x∈[1，4]恒成立
當x=1，x=4分別代入得

a(2+ a 2 ) ≤2 a(1+a)≤2 a＞0

解得0＜a≤2

2

-2

點評：本題考查函數(shù)最值的應用，解題的關鍵是判斷出函數(shù)最值的位置及利用函數(shù)的最值建立方程求參數(shù)，函數(shù)最值是函數(shù)一個重要的性質，其題型一般有判斷最值求最值，及利用最值建立方程求參數(shù)，函數(shù)最值考查的題型也是高考中的覺題型，要注意積累函數(shù)最值的判斷方法及函數(shù)最值的用法，本題綜合性強，較抽象，解題時轉化要嚴謹，運算認真