Question

（08年寶山區模擬理 ） （18分）已知橢圓C：(a>b>0)的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.

（3）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點，設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a,b滿足的條件。

 

Answer 1

解析：（1）由題意得，解得………………………3分

所求的方程為………………………4分

（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：……5分

由得.…………………………………6分

,（1）……………7分

又

由 ∴………………………8分

所以

                      

（2）…………………………………………………………………………10分

由（1）（2）得：。…………………………………………11分

（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等。…………………12分

當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，……14分

當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由，得(1)，同理(2) ……………15分

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化簡得，………17分

，即。

綜上，d=1時a,b滿足條件………………………………………………………18分