Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足：2

OD

=

OF

+

OP

（O為原點）且

AB

=λ

AD

(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B的直線l交雙曲線于M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C，使?

CM

•

CN

為常數，若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題得B（0，-b），A（

a2

c

，0)易得P(c，

b2

a

)，P（c，

b2

a

）
∵2O

D

=O

F

+O

P

∴D為線段FP的中點（1分）
∴D（c，

b2

2a

)，又A

B

=λA

D

，
∵

AB

=λ

AD

(λ≠0)
即A、B、D共線（2分）
∴而A

B

=(-

a2

c

，-b)，A

D

=(c-

a2

c

，

b2

2a

)?，
?∴-

a2

c

•

b2

2a

-(-b)•(c-

a2

c

)=0得a=2b
∴e=

c

a

=

1+( b a

)2=

1+ 1 4

=

5

2

（4分）?
（2）∵a=2而e=

5

2

∴b2=1
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1①（5分）
∴B（0，-1）
假設存在定點C（0，n）使C

M

•C

N

為常數u，設MN的方程為y=kx-1②（6分）
由②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由題意得

1-4k2≠0 △=64k2+32(1-4k2)＞0

得k2＜

1

2

且k2≠

1

4

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

8k

4k2-1

，x1x2=

8

4k2-1

?（8分）
而C

M

•C

N

=(x1，y1-n)•(x2，y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2?
=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=

8(1+k2)

4k2-1

-

8k2(n+1)

4k2-1

+(n+1)2=u?
整理得：[4（n+1）²-8n-4u]k²+[8-（n+1）²+u]=0（10分）
對滿足k2?

1

2

且k2≠

1

4

的k恒成立，
∴

4(n+1)2-8n-4u=0 8-(n+1)2+u=0

解得n=4，u=17
故存在y軸上的定點C（0，4），使C

M

•C

N

為常數17（14分）