Question

已知f（x）為偶函數，當x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，滿足f[f（a）]=

1

2

的實數a的個數為（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

轉化為f（x）=

1

2

．先解f（x）=

1

2

在x≥0時的解，再利用偶函數的性質，求出f（x）=

1

2

在x＜0時的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答：解：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

變形為f（x）=

1

2

；
當x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1=

1

2

，解得x₁=1+

2

2

，x₂=1-

2

2

；
∵f（x）為偶函數，
∴當x＜0時，f（x）=

1

2

的解為x₃=-1-

2

2

，x₄=-1+

2

2

；
綜上所述，f（a）=1+

2

2

，1-

2

2

，-1-

2

2

，-1+

2

2

；
當a≥0時，
f（a）=-（a-1）²+1=1+

2

2

，方程無解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-

2

2

，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-

2

2

，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+

2

2

，方程有1解；
故當a≥0時，方程f（a）=x有4解，由偶函數的性質，易得當a＜0時，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=

1

2

的實數a的個數為8，
故選D．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性和方程的解的個數問題，同時運用了函數與方程思想、轉化思想和分類討論等數學思想方法，對學生綜合運用知識解決問題的能力要求較高，是高考的熱點問題．