Question

如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面
AEC外一點F滿足FC⊥平面BDE，FB=。

（1）證明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值。

Answer 1

（1）證明：∵FC⊥平面BDE，
∴FC⊥EB，
∵點B和點C為線段AD的三等分點，
∴點B為圓心，
又∵點E為半圓弧AC的中點，
∴AC⊥EB，
又∵FC∩AC=C，
∴EB⊥平面FBD，
又∵EB平面FBE，
∴平面FBE⊥平面FBD。
（2）解：過點F作FG⊥DE于點G，連結CG，
∵FC⊥平面BDE，
∴FC⊥DE，
又∵FC∩FG=F，
∴DE⊥平面FCG，
∴DE⊥CG，
則∠FGC就是所求二面角F-DE-B的平面角，
在Rt△FBC中，FB=，半徑BC=a，
∴FC=2a，
在Rt△BED中，BD=2a，半徑BE=a，
∴DE=，
在Rt△DCE中，CG=，
∴，
即二面角F-DE-B的正切值為。