Question

下面是三位同學的說法,請判斷正誤:

甲生:有窮數列1,3,5,7,…,2n－3的項數為n；

乙生:數列{－0.3n²+2n+7}中的最大項的值為；

丙生:若函數y=f(x)不單調,則數列{f(n)}也不單調.

Answer 1

解:三位同學的說法都是錯誤的.

甲同學看見最后一項是2n－3,就認為一共有n項,其實這個數列的通項公式為a_n=2n－1,上面的項依次為n取1,2,3,…,n－1時的值,故一共只有n－1項.

乙同學把數列的通項公式a_n=－0.3n²+2n+7與二次函數y=－0.3x²+2x+7混為一談.可以借助函數的性質來研究數列的性質.

∵－0.3<0,此二次函數的對稱軸x=－=,

又n∈N^*,而與最接近的整數為3,

故當n=3時,a_n最大.

丙同學與乙同學犯了相同的錯誤,二者雖然法則都為f,但定義域不同,可致使函數不單調,而數列單調.如二次函數y=5x²－x+1在其定義域R上不單調,但數列{5n²－n+1}是單調遞增  數列.

點評:雖然數列可以看成一個函數,但由于它的定義域是{1,2,…,n}或N^*,因此,數列也有它的特殊性,在解題時應引起注意.