Question

（理科做）函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，向左平移一個長度單位后仍關于直線y=x對稱，若f（1）=0，則f（2011）=（ ）
A．-2010
B．2010
C．-2011
D．2011

Answer 1

【答案】分析：根據函數圖象的對稱性，在f（1）=0的基礎上可以得出得出f（0）=1，再根據圖象平移的關系，得出在y=g（x）=f（x+1）中，g（-1）=1，繼而g（1）=-1，f（2）=-1，依次轉化推導，得出結果．
解答：解：若一個函數圖象關于直線y=x對稱，則其圖象上任意點（a，b）關于直線y=x的對稱點（b，a）也在函數圖象上．
由已知f（1）=0，即（1，0）是函數y=f（x）的圖象上的點，由于函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，所以（0，1）也在函數y=f（x）的圖象上，得出f（0）=1．
向左平移一個長度單位后，函數解析式設為y=g（x）=f（x+1），則可知g（-1）=1，又y=g（x）仍關于直線y=x對稱，所以有g（1）=-1，根據圖象平移的關系，又得出f（2）=-1．
依此類推，繼續得出：
f（-1）=2，g（-2）=2，g（2）=-2；
f（3）=-2，f（-2）=3，g（-3）=3，g（3）=-3；
f（4）=-3
…
歸納得出g（a）=-a，
f（a+1）=-a
f（2011）=-2010
故選A．
點評：本題考查函數值求解．利用了函數圖象的對稱性，圖象平移的關系．進行轉化推導．