Question

如圖，點A、B為橢圓

x2

4

+

y2

2

=1長軸的兩個端點，點M為該橢圓上位于第一象限內的任意一點，直線AM、BM分別與直線l：x=2

2

相交于點P、Q．
（1）若點P、Q關于x軸對稱，求點M的坐標；
（2）證明：橢圓右焦點F在以線段PQ為直徑的圓上．

Answer 1

分析：（1）求出直線AM的方程，可得P的坐標，同理求出Q的坐標，利用點P、Q關于x軸對稱，即可求點M的坐標；
（2）證明橢圓右焦點F在以線段PQ為直徑的圓上，只需證明FP⊥FQ，利用向量知識可求．

解答：（1）解：由題意，a=2，∴A（2，0），B（-2，0）．
設點M的坐標為（x₀，y₀），則直線AM的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，
令x=2

2

，則P（2

2

，

y0

x0-2

•(2

2

-2)）．
同理，Q（（2

2

，

y0

x0+2

•(2

2

+2)）．
∵點P、Q關于x軸對稱，
∴

y0

x0-2

•(2

2

-2)+

y0

x0+2

•(2

2

+2)=0，
∴x0=

2

，
代入橢圓方程，
∵點M為該橢圓上位于第一象限內的任意一點，
∴y₀=1，
∴點M的坐標為（

2

，1）；
（2）證明：∵c=

4-2

=

2

，
∴F（

2

，0)，
∴

FP

•

FQ

=2+

y0

x0-2

•

y0

x0+2

(2

2

-2)(2

2

+2)=

2(x02+2y02-4)

x02-4

，
∵

x02

4

+

y02

2

=1，
∴x02+2y02=0，
∴

FP

•

FQ

=0，
∴

FP

⊥

FQ

，
∴FP⊥FQ，
∴橢圓右焦點F在以線段PQ為直徑的圓上．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．