Question

已知拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0）上的點(diǎn)P（b，1）到焦點(diǎn)的距離為，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如圖，已知?jiǎng)泳�(xiàn)段AB（B在A(yíng)右邊）在直線(xiàn)l：y=x-2上，且，現(xiàn)過(guò)A作C的切線(xiàn)，取左邊的切點(diǎn)M，過(guò)B作C的切線(xiàn)，取右邊的切點(diǎn)為N，當(dāng)MN∥AB，求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用拋物線(xiàn)的定義把點(diǎn)P（b，1）到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，由此可求a的值；
（Ⅱ）設(shè)出M和N的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)M和N的切線(xiàn)方程，由t表示出A，B的坐標(biāo)，把A，B代入切線(xiàn)方程后求出M和N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出MN所在直線(xiàn)的斜率，由斜率等于1即可求出t的值．
解答：解：（Ⅰ）拋物線(xiàn)C：y=ax²即，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，
∵點(diǎn)P（b，1）到焦點(diǎn)的距離為，∴，∴a=1，∴拋物線(xiàn)C的方程為y=x²；
（Ⅱ）設(shè)，∵y=x²，∴y'=2x，∴k_AM=2x₁，
∴切線(xiàn)AM的方程為：，即，
同理可得切線(xiàn)BN的方程為：
由于動(dòng)線(xiàn)段AB（B在A(yíng)右邊）在直線(xiàn)l：y=x-2上，且，
故可設(shè)A（t，t-2），B（t+1，t-1），
將A（t，t-2）代入切線(xiàn)AM的方程，得，即，
∴，
同理可得，
∵，當(dāng)MN∥AB時(shí)，k_MN=1，得x₁+x₂=1，
∴，
∴，
∴
得t=0或（舍去），∴t=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的方程，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法．考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，考查了二次方程根的求法，解答此題的關(guān)鍵是用A點(diǎn)的坐標(biāo)表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，屬難題．