Question

已知數列{d_n}滿足d_n=n，等比數列{a_n}為遞增數列，且a₅²=a₁₀，2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令c_n=1-（-1）ⁿa_n，不等式c_k≥2014（1≤k≤100，k∈N^*）的解集為M，求所有d_k+a_k（k∈M）的和．

Answer 1

分析：（I）設{a_n}的首項為a₁，公比為q，利用等比數列的通項公式及a₅²=a₁₀，即可解得q與a₁的關系，再利用2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．即可解得q．
（II）由（I）可得：cn=1-(-1)nan=1-(-2)n，d_n=n．當n為偶數，不成立．當n為奇數，cn=1+2n≥2014，即2ⁿ≥2013，可得：n=2m+1，5≤m≤49．可知：{d_k}組成首項為11，公差為2的等差數列；數列{a_k}（k∈M）組成首項為2¹¹，公比為4的等比數列．利用其前n項和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的首項為a₁，公比為q≠0，
∵a₅²=a₁₀，
∴(a1q4)2=a1q9，解得a₁=q．
又∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴2(an+anq2)=5anq，
∵a_n≠0，
∴2（1+q²）=5q，2q²-5q+2=0，解得q=

1

2

（舍）或q=2．
∴an=2×2n-1=2n．
（Ⅱ）由（I）可得：cn=1-(-1)nan=1-(-2)n，d_n=n．
當n為偶數，cn=1-2n≥2014，即2ⁿ≤-2013，不成立
當n為奇數，cn=1+2n≥2014，即2ⁿ≥2013，
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴n=2m+1，5≤m≤49．
則{d_k}組成首項為11，公差為2的等差數列；
數列{a_k}（k∈M）組成首項為2¹¹，公比為4的等比數列．
則所有d_k+a_k（k∈M）的和為

45(11+99)

2

+

211(1-445)

1-4

=2475+

2101-2048

3

=

2101+5377

3

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．