Question

函數y=f(x)(x∈R)有下列命題:
①在同一坐標系中,y=f(x+1)與y=f(-x+1)的圖象關于直線x=1對稱;
②若f(2-x)=f(x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱;
③若f(x-1)=f(x+1),則函數y=f(x)是周期函數,且2是一個周期;
④若f(2-x)=-f(x),則函數y=f(x)的圖象關于(1,0)對稱,其中正確命題的序號是　　　　.

Answer 1

②③④

對于①,y=f(x+1)的圖象由y=f(x)的圖象向左平移1個單位得到,y=f(-x+1)的圖象,由y=f(-x)的圖象向右平移1個單位得到,而y=f(x)與y=f(-x)關于y軸對稱,從而y=f(x+1)與y=f(-x+1)的圖象關于直線x=0對稱,故①錯;
對于②,由f(2-x)=f(x)將x換為x+1可得f(1-x)=f(1+x),從而②正確;
對于③,由f(x-1)=f(x+1)將x換為x+1可得,f(x+2)=f(x),從而③正確.
對于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),從而④正確.
【誤區警示】解答本題時,易誤以為①正確,出錯的原因是混淆了兩個函數y=f(x+1)與y=f(-x+1)的圖象關系與一個函數y=f(x)滿足f(x+1)=f(-x+1)時圖象的對稱關系.