Question

已知函數
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）試用函數單調性定義說明函數在區間和上的增減性；
（3）若滿足：，試證明：．

Answer 1

（1）偶函數，（2）在上是減函數，在上是增函數（3）詳見解析.

試題分析：（1）判定函數奇偶性，首先判定函數定義域是否關于原點對稱，然后再判斷與的相等或相反關系.本題定義域為一切實數，關于原點對稱.函數為分段函數，需分類討論. 當時，，.當時，，.故為偶函數.（2）利用定義研究函數單調性，需注重作差后的變形，關鍵是提取公因式，進行因式分解，以便判斷符號.（3）由于是同區間的兩個任意數，所以只需證，從而本題實質為求函數最值.由函數奇偶性及單調性知：
，所以成立.
試題解析：解：（1）∵當時，，∴
∴       2分
∵當時，，∴
∴      4分
∴對都有，故為偶函數           5分
（2）當時，
設且，則     7分
∴當時，即
當時，即        9分
∴函數在區間上是減函數，在區間上是增函數   11分
（3）由（2）可知，當時：
若，則即
若，則即
∴當時，有                                   12分
又由（1）可知為偶函數，∴當時，有      13分
∴若，時，則，          14分
∴，即          15分