Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義，，且滿足x，y∈（-1，1）有．對數列{x_n}有
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（2）求f（x_n）的表達式．
（3）是否存在自然數m，使得對于任意n∈N^*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定義判斷．
（2）由易知0＜x_n＜1，由主條件得和f（x）在（-1，1）上為奇函數得f（x_n+1）=2f（x_n）再由f（x₁）=1，得到f（x_n）是以1為首項，2為公比的等比數列求解．
（3）由（2）將成立轉化為恒成立，由得求解．
解答：解：（1）當x=y=0時，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上為為奇函數．
（2）由易知：{x_n}中0＜x_n＜1，
∵且f（x）在（-1，1）上為奇函數
∴f（x_n+1）=2f（x_n）由，
∴f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1為首項，2為公比的等比數列∴f（x_n）=2^n-1
（3）
假設存在m使得成立，即恒成立，
∵，
∴，
∴m≥16，
∴存在自然數m≥16，
使得成立，此時最小的自然數m=16．
點評：本題主要考查抽象抽象函數判斷奇偶性及求解析式，進而轉化為數列模型研究等比數列求和解決恒成立問題．