Question

如圖，在△ABO中，

OC

=

1

4

OA

，

OD

=

1

2

OB

，AD交BC于M，設

OA

=

a

，

OB

=

b

．
①用

a

、

b

表示

OM

；
②在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，設

OE

=λ

OA

，

OF

=μ

OB

．
求證：

1

7λ

+

3

7μ

=1．

Answer 1

分析：①分析題設中的條件，B、M、C三點共線，A、M、D三點共線故可由共線的條件建立方程，從中解出用

a

、

b

表示

OM

的向量表達式；
②由于要證的是一個等式，故要從題設條件中尋求等量關系，分析題意，E、M、F三點共線，B、M、C三點共線，A、M、D三點共線故仍需要由向量共線的條件得出建立起兩個參數λ，μ的方程整理出要證明的等式．

解答：解：①∵B、M、C三點共線
∴存在x∈R，使

OM

=x

OB

+(1-x)

OC

=x

b

+(1-x)•

1

4

a

=2x•

b

2

+

1-x

4

•

a

（3分）
而A、M、D三點共線，由共線的條件得2x+

1-x

4

=1⇒x=

3

7

即

OM

=

1

7

a

+

3

7

b

（6分）
②證明：∵E、M、F三點共線
∴存在x∈R，使

OM

 =x

OE

 +(1-x)

OF

=xλ

a

+(1-x)•μ

b

=4xλ•

a

4

+(1-x)•μ

b

=xλ

a

+2(1-x)μ•

b

2

（9分）
而B、M、C三點共線，A、M、D三點共線
∴

4xλ+(1-x)μ=1 xλ+2(1-x)μ=1

⇒

3

7μ

+

1

7λ

=1（12分）

點評：本題考查平面向量綜合題，解題的關鍵是理解并能根據點共線轉化為向量共線，再根據向量共線的條件得出等式，證明結論，本題考查了轉化的思想與推理論證的能力