Question

（本小題滿分12分）已知，其中是自然常數，

（1）討論時, 的單調性、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，;

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當時， ，此時單調遞減，

當時，，此時單調遞增 ，的極小值為 ；

（2） ；（3）存在實數，使得當時有最小值3. 

【解析】本題主要考查導數的應用．導數一般應用在求切線的斜率極其方程，求函數的單調區間以及極值，和求在某個區間上的最值問題上．導數的應用是高考考查的重點，須重視。

（1）把a=1代入原函數，求出其導函數，即可求f（x）的單調性、極值；

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，即... .（5分）

令，判定單調性得到證明。

（3）先求出其導函數，通過分類討論分別求出導數為0的根，以及單調性和極值，再與f（x）的最小值是3相結合，即可得出結論．

解：（1），   ………………..………....（1分）

∴當時， ，此時單調遞減

當時，，此時單調遞增    …………………………....（3分）

∴的極小值為                         ……………….……....（4分）

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，即... .（5分）

令，，  …………………………………………....（6分）

當時，，在上單調遞增  …………………………...（7分）

∴ 

∴在（1）的條件下，           ………………………….……....（8分）

（3）假設存在實數，使（）有最小值3，

                      …………………………………....（9分）

① 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.             ……………………………………….……....（10分）

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件.  ……………………………....（11分）

③ 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3. 

                        ……………………………………………………………....（12分）