Question

在△ABC中，給出如下命題：
①若

AC

•

AB

＞0，則△ABC為銳角三角形；
②O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=

OB

•

OC

=

OC

•

OA

，則O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，λ∈[0，+∞)，則動(dòng)點(diǎn)P一定過(guò)△ABC的重心；
④O是△ABC內(nèi)一定點(diǎn)，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

，則

S△AOC

S△ABC

=

1

3

；
⑤若(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)•

BC

=0，且

AB

| AB |

•

AC

| AC |

=

1

2

，則△ABC為等腰直角三角形．
其中正確的命題為

②③④

（將所有正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①由數(shù)量積可以判斷三角形的內(nèi)角關(guān)系．②將向量進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到向量垂直關(guān)系．③將向量進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到向量共線關(guān)系．④將向量進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到向量共線關(guān)系，根據(jù)共線關(guān)系確定，O為重心．⑤利用平面向量的數(shù)量積公式，可推出向量垂直，進(jìn)而判斷三角形的邊角關(guān)系．

解答：解：①若

AC

•

AB

＞0，則得出角A為銳角，但無(wú)法判斷B，C都是銳角，所以①錯(cuò)誤．
②由

OA

?

OB

=

OB

?

OC

，得(

OA

-

OC

)?

OB

=0，即

AC

?

OB

=0，所以

AC

⊥

OB

．同理可知

AB

⊥

OC

，所以O(shè)是△ABC的垂心，所以②正確．
③由動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，λ∈[0，+∞)，
得

OP

-

OA

=λ(

AB

+

AC

)，即P的軌跡是直線AD，而AE是△ABC的中線，
因此P的軌跡（即直線AD）過(guò)△ABC的重心．所以③正確．
④由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，得

OC

+

OB

=-

OA

=

AO

在三角形ABC中，E是邊BC的中點(diǎn)，則

AO

=2

OE

，即O是三角形ABC的重心，所以

S△AOC

S△ADC

=

2

3

，

S△ADC

S△ABC

=

1

2

，所以

S△AOC

S△ABC

=

S△AOC

S△ADC

×

S△ADC

S△ABC

=

2

3

×

1

2

=

1

3

，所以④正確．
⑤由(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)•

BC

=0，可知角A的角平分線垂直于BC，所以AB=AC．由

AB

| AB |

•

AC

| AC |

=

1

2

，可得cos?A=

1

2

，解得
A=

π

3

，所以△ABC為等邊三角形，所以⑤錯(cuò)誤．所以正確的命題為②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，在做的過(guò)程中要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．