Question

（08年安徽皖南八校聯考）（本小題滿分14分）

如圖所示，已知橢圓：（）的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點，、兩點在橢圓上，且（），定點 (一4，0)，當＝1時，有．

（1）       求證：當＝1時，⊥；

（2）       求橢圓的方程．

（3）       當、兩點在橢圓上運動時，試判斷是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

解析：  （1）證明：設（，），（，），（，），，則（-，）

=（-，），當＝1時，，

∴=，+=2.…………………………………………………………………2分

    由、兩點在橢圓上，∴ ，，∴.

    若，則（舍），∴，∴（0，），

（+4，）.

∵=0，∴⊥.…………………………………………………………4分

（注：由＝1，得是的中點，再利用橢圓對稱性或由焦半徑公式證明參照得分）

    （2）解：當＝1時，不妨設，，

    ∴.……………………………………………………………6分

    又，，∴.

    ∵，∴，橢圓的方程為. …………………………………8分

    （3）解：△=， ………………9分

    設直線的方程為，，聯立 ，

得，∴.…………………10分

記，，則

，

∴當，當，即時取等號.

并且，當時，，

當不存在時. ………………………………………………13分

綜上有最大值，最大值為.

此時，直線的方程為或 ……………………………14分