Question

( (本小題滿分12分) 如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，
.
（Ⅰ）若D為AA₁中點，求證：平面B₁CD平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁—DC—C₁的大小為60°，求AD的長.

Answer 1

Ⅰ）∵，∴，
又由直三棱柱性質知，∴平面ACC₁A₁.∴……①   ……………3分
由D為中點可知，，
∴即……②………………………5分
由①②可知平面B₁C₁D，又平面B₁CD，故平面平面B₁C₁D. … 6分
（Ⅱ）由（1）可知平面ACC₁A₁，如圖，在面ACC₁A₁內過C₁作，交CD或延長線或于E，連EB₁，由三垂線定理可知為二面角B₁—DC—C₁的平面角，………………8分
∴由B₁C₁=2知，，          …………………10分
設AD=x，則∵的面積為1，∴，
解得，即                  ……………………………………12分

解析