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定義在D={x∈R|x≠0}上的函數f（x）滿足兩個條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
x2+y2
xy
；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，
1
4
）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，從而可求得f（x）=x+
1
x
，設過點（-1，
1
4
）的切線切曲線y=f（x）于（x0，x0+
1
x0
），則切線的斜率為1-
1
x02
，于是可求得切線方程，將點（-1，
1
4
）的坐標代入方程即可求得x0，從而可得過點（-1，
1
4
）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
1
x
，當n∈N*時，fn（x）-f（xn）=(x+
1
x
)n-（xn+
1
xn
），利用二項式定理將(x+
1
x
)n展開，采用倒序相加法可求得2（fn（x）-f（xn）），再利用基本不等式即可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得，f2（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
當f（1）=-1時，令y=1得，f（x）=-
x2+1
2x
，即f（x）=-
1
2
（x+
1
x
），
f′（x）=-
1
2
（1-
1
x2
），
由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上無解，這說明曲線y=f（x）不存在與直線x+y+1=0平行的切線，不合題意，
則f（1）=2，此時，令y=1得，f（x）=
x2+1
x
=x+
1
x
，f′（x）=1-
1
x2
，
由f′（x）=-1得，x2=
1
2
，此方程在D上有解，符合題意．
設過點（-1，
1
4
）的切線切曲線y=f（x）于（x0，x0+
1
x0
），則切線的斜率為1-
1
x02
，
其方程為y-x0-
1
x0
=（1-
1
x02
）（x-x0），把點（-1，
1
4
）的坐標代入整理得，
5x02-8x0-4=0，解得x0=-
2
5
或x0=2，
把x0=-
2
5
或x0=2分別代入上述方程得所求的切線方程是：y=-
21
4
x-5和y=
3
4
x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
1
x
，當n∈N*時，
fn（x）-f（xn）=(x+
1
x
)n-（xn+
1
xn
）
=
C
1
n
xn-1•
1
x
+
C
2
n
xn-2•
1
x2
+…+
C
n-2
n
x2•
1
xn-2
+
C
n-1
n
x•
1
xn-1

=
C
1
n
xn-2+
C
2
n
xn-4+…+
C
n-2
n
1
xn-4
+
C
n-1
n
1
xn-2
，
由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
2（fn（x）-f（xn））=
C
1
n
xn-2+
C
2
n
xn-4+…+
C
n-2
n
1
xn-4
+
C
n-1
n
1
xn-2

+
C
n-1
n
1
xn-2
+
C
n-2
n
1
xn-4
+…+
C
2
n
xn-4+
C
1
n
xn-2
=
C
1
n
xn-2+
C
2
n
xn-4+…+
C
n-2
n
1
xn-4
+
C
n-1
n
1
xn-2

+
C
1
n
1
xn-2
+
C
2
n
1
xn-4
+…+
C
n-2
n
xn-4+
C
n-1
n
xn-2
=
C
1
n
（xn-2+
1
xn-2
）+
C
2
n
（xn-4+
1
xn-4
）+…+
C
n-1
n
（xn-2+
1
xn-2
）
≥2
C
1
n
+2
C
2
n
+…+2
C
n-1
n
）
=2（
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n-1
n
）
=2[（
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n-1
n
+
C
n
n
）-
C
0
n
-
C
n
n
）]
=2（2n-2）
所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．
點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查不等式的證明，突出二項式定理及倒序相加法與基本不等式的綜合運用，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ax2-2
4+2b-b2
•x，g(x)=-
1-(x-a)2
(a， b∈R)．
（1）當b=0時，若f（x）在（-∞，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數對（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值；
（3）對滿足（II）中的條件的整數對（a，b），試構造一個定義在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函數h（x），使h（x+2）=h（x），且當x∈（-2，0）時，h（x）=f（x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

定義在D={x∈R|x≠0}上的函數f（x）滿足兩個條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=數學公式；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，數學公式）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

定義在D={x∈R|x≠0}上的函數f（x）滿足兩個條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
x2+y2
xy
；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，
1
4
）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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科目：高中數學 來源：《導數及其應用》2013年高三數學一輪復習單元訓練（浙江大學附中）（解析版） 題型：解答題

定義在D={x∈R|x≠0}上的函數f（x）滿足兩個條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞），n∈N+時，求證：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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