Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為d_n的等差數列．
①設T_n=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

（n∈N^*），求T_n；
②在數列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，若q=1，則a_n=a₁，a_n+1=a₁，S_n=na₁，這與a_n+1=2S_n+2矛盾，故q≠1，由a_n+1=2S_n+2得a1qn=

2a1(1-qn)

1-q

+2，由此能夠推導出a_n=2×3^n-1．
（2）由a_n=2×3^n-1，知a_n+1=2×3ⁿ，因為a_n=a_n+（n+1）d_n，所以dn=

4×3n-1

n+1

．
（i）Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×31

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，由錯位相減法能夠得到Tn=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

．
（ii）假設在數列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列，則d_k²=d_md_p，由m，k，p成等差數列，知m+p=2k，由此可得m=k=p這與題設矛盾，所以在數列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，若q=1，則a_n=a₁，a_n+1=a₁，S_n=na₁，這與a_n+1=2S_n+2矛盾，
故q≠1，由a_n+1=2S_n+2得a1qn=

2a1(1-qn)

1-q

+2，…（3分）
故取

1

3

Tn=

2

4×31

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，解得

a1=2 q=3

，故a_n=2×3^n-1…（6分）
（2）由（1），知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ
因為a_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以dn=

4×3n-1

n+1

…（8分）
（i）Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×31

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，
則

1

3

Tn=

2

4×31

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

…（10分）
所以

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+

1

4×33

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 ×(1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

所以Tn=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

…（12分）
（ii）假設在數列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列
則d_k²=d_md_p，即(

4×3k-1

k+1

)2=

4×3m-1

m+1

×

4×3p-1

p+1

因為m，k，p成等差數列，所以m+p=2k①
上式可以化簡為k²=mp②由①②可得m=k=p這與題設矛盾
所以在數列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列…（16分）

點評：第（1）題考查數列的通項公式的求法，解題時要注意公比是否等于1；第（2）題考查數列的前n項和的計算和等比數列的綜合運用，解題時要注意錯位相減法的合理運用．