Question

某工廠為了提高經濟效益，決定花5600千元引進新技術，同時適當進行裁員．已知這家公司現有職工m人，每人每年可創利100千元．據測算，若裁員人數不超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利1千元；若裁員人數超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利2千元．為保證公司的正常運轉，留崗的員工數不得少于現有員工人數的75%．為保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費．
（1）若m=400時，要使公司利潤至少增加10%，那么公司裁員人數應在什么范圍內？
（2）若m=20k，且15＜k＜50，為了獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？

Answer 1

設該公司應裁員x人，x∈N^*，所獲得利潤為y．
（1）m=400時，若0≤x≤80
公司所獲利潤y=（400-x）（100+x）-20x-5600
要使公司利潤至少增加10%那么（400-x）（100+x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x²-280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80．
若80≤x≤100公司所獲利潤y=（400-x）（100+2x）-20x-5600
要使公司利潤至少增加10%那么（400-x）（100+2x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x²-340x+4800≤0它在80≤x≤100時成立
所以40≤x≤100時公司利潤至少增加10%．
（2）設公司裁員x人，所獲得利潤為y千元．則
y=

(100+x)(20k-x)-20x-5600    0≤x≤4k (100+2x)(20k-x)-20x-5600     4k＜x≤5k

=

-x2+(20k-120)x+2000k-5600   0≤x≤4k -2x2+(40k-120)x+2000k-5600   4k＜x≤5k

=

-(x-(10k-60))2+2000k-5600+(10k-60)2   0≤x≤4k -2(x-(10k-30))2+2000k-5600+2(10k-30)2   4k＜x≤5k

設f₁（x）=-（x-（10k-60））²+2000k-5600+（10k-60）²，0≤x≤4k，
因為10k-60＞150-60=90＞4k．所以當x=4k時，函數f₁（x）取最大值為：
f₁（x）_max=64k²+80k-5600．
設f₂（x）=-2（x-（10k-30））²+2000k-5600+2（10k-30）²，4k＜x≤5k，
因為10k-30＞150-30=120＞5k．所以當x=5k時，函數f₂（x）取最大值為：
f₁（x）_max=150k²+50k-5600．f₂（x）-f₁（x）=86k²-30k＞0．
所以當x=5k時公司可獲得最大利潤．