Question

已知函數，在定義域[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為．有以下命題：

①是奇函數；②若在內遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則； ④若對， 恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的序號為————

 

Answer 1

【答案】

①③

【解析】解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在定義域x∈[-2，2]上表示的曲線過原點，∴f（0）=0∴c=0∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1處的切線斜率均為-1．∴f′（1）=f′（-1）=-1

3+2a+b=-1和3-2a+b=-1，解可得b=-4，a=0∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4

①∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函數；①正確

②由f′（x）≥0得單調區間進而得到結論。

③由奇函數的關于原點對稱可知，最大值與最小值互為相反數，f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0；③正確

④若對∀x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤4，則k的最大值為-4．④錯誤

正確命題的序號為①③