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設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：a＞0且-2＜
ba
＜-1．
分析：先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數式中的a，b，c進行表示，再結合等式關系利用不等式的基本性質即可得到a和
a
b
的范圍即可．
解答：證明：f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+
b
a
＜0，∴
b
a
＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+
b
a
＞0，∴
b
a
＞-2．故-2＜
b
a
＜-1．
點評：本題主要考查二次函數的基本性質與不等式的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：
（Ⅰ）a＞0且-2＜
ba
＜-1；
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）內有兩個實根．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（Ⅰ）方程f（x）=0有實根．
（Ⅱ）-2＜
a
b
＜-1；設x1，x2是方程f（x）=0的兩個實根，則.
3
3
≤|x1-x2|＜
2
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）•f（1）＞0，求證：
（I） -2＜
b
a
＜-1
（II） 設x1，x2是方程f（x）=0的兩個實根，則
3
3
≤|x1-x2|＜
2
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（1）方程f（x）=0有實數根；
（2）-2＜
b
a
＜-1；
（3）設x1，x2是方程f（x）=0的兩個實數根，則
3
3
≤|x1-x2|＜
3
2
．

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