Question

已知(

x

-

3	x

)n的二項展開式中所有奇數項的系數之和為512，
（1）求展開式的所有有理項（指數為整數）．
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+∧+（1-x）ⁿ展開式中x²項的系數．

Answer 1

分析：（1）根據二項展開式中所有奇數項的系數之和為512，寫出所有系數的和的表示形式，得到n=10，寫出通項式，使得通項式中x的指數等于整數，求出所有的項．
（2）根據二項式系數的性質，變形整理把一項移項，寫出展開式中x²項的系數，把系數寫成兩項的差，依次相加得到結果．

解答：解：（1）C_n⁰+C_n²+…=2^n-1=512=2⁹
∴n-1=9，n=10
Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

3	x

)r=(-1)r

C

r 10

x5-

r

6

（r=0，1，，10）
∵5-

r

6

∈Z，∴r=0，6
有理項為T₁=C₁₀⁰x⁵，T₇=C₁₀⁶x⁴=210x⁴
（2）∵C_n^r+C_n^r-1=C_n+1^r，
∴x²項的系數為C₃²+C₄²+…+C₁₀²=（C₄³-C₃³）+…+（C₁₁³-C₁₀³）
=C₁₁³-C₃³=164

點評：本題考查二項式定理，解題的關鍵是對于二項式性質的變形應用，然后依次合并同類項，得到最簡結果．