Question

設圓滿足：(Ⅰ)截y軸所得弦長為2；(Ⅱ)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1；在滿足條件(Ⅰ)、(Ⅱ)的所有圓中，求圓心到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程。

Answer 1

解：設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|，
由題設知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，
∴圓P截x軸所得的弦長為r，故r²=2b²，
又圓P截y軸所得的的弦長為2，
所以有r²=a²+1，從而得2b²-a²=1，
又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離為d=，
所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1，
當且僅當a=b時，上式等號成立，
從而要使d取得最小值，則應有，
解此方程組得，
又由r²=2b²知r=，
于是，所求圓的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。