Question

己知函數f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的增區間；
（3）是否存在實數m，使不等式

1

2x+1

＞（x+1）^m在-1＜x＜0時恒成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據函數解析式得

x+1＞0 x+1≠1

解之即得函數f（x）的定義域；
（2）在（1）中確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0，解得的區間就是單調增區間．
（3）根據已知

1

2x+1

＞（x+1）^m在-1＜x＜0時恒成立等價于m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

恒成立，構造新的函數h（x）=

ln2

(x+1)ln(x+1)

本題所要求的m的取值范圍，只需m＞h（x）最大值即可．

解答：解：（1）根據函數解析式得

x+1＞0 x+1≠1

，
解得x＞-1且x≠0．∴函數f（x）的定義域是x|x∈R，x＞-1且x≠0．（3分）
（2）∵f(x)=

1

(x+1)ln(x+1)

，∴f′(x)=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln2(x+1)

（5分）
由f'（x）＞0得ln（x+1）+1＜0．∴-1＜x＜e^-1-1．∴函數f（x）的增區間為（-1，e^-1-1）．（8分）
（3）∵e^-1-1＜x＜0，∴e^-1＜x+1＜1．∴-1＜ln（x+1）＜0．∴ln（x+1）+1＞0∴當e^-1-1＜x＜0時，f′(x)=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln2(x+1)

＜0．∴在區間（-1，0）上，
當x=e^-1-1時，f（x）取得最大值．∴[f（x）]_最大=f（e^-1-1）=-e．（10分）
∵2

1

x+1

＞(x+1)m在-1＜x＜0時恒成立．∴

1

x+1

ln2＞mln(x+1)在-1＜x＜0時恒成立．
∴m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時恒成立．∵

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時的最大值等于-eln2．
∴m＞-eln2．∴當m＞-eln2時，不等式2

1

x+1

＞(x+1)m在-1＜x＜0，時恒成立．（14分）

點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查分類討論，化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．