Question

如圖，在三棱錐中，平面平面,，．設，分別為，中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面;
（Ⅲ）試問在線段上是否存在點，使得過三點 ,,的平面內的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，點是線段中點。

試題分析：（Ⅰ）由中位線直接可得∥，由線面平行的判定定理可直接證得∥平面。（Ⅱ）根據線面垂直的判定定理需證和面內的兩條相交直線都垂直。已知條件中已有，又因為已知平面平面,，由面面垂直的性質定理可得面，有線面垂直可得線線垂直。問題即可得證。（Ⅲ）要使得過三點 ,,的平面內的任一條直線都與平面平行，只需證面DEF與面PBC平行即可。根據面面平行的定理，需證面DEF內的兩條相交線都和面PBC平行。第一問中已征得∥平面，根據第一問的思路，F別為AB的中點，就可同（Ⅰ）證出PF與面PBC平行。
試題解析：證明：
（Ⅰ）因為點是中點，點為的中點，
所以∥．
又因為面，面，
所以∥平面．               4分
（Ⅱ）因為平面面, 平面平面=,又平面，，所以面.
所以．
又因為，且，
所以面．                   9分
（Ⅲ）當點是線段中點時，過點,,的平面內的任一條直線都與平面平行．
取中點，連，連.

由（Ⅰ）可知∥平面．
因為點是中點，點為的中點，
所以∥．
又因為平面，平面，
所以∥平面．
又因為，
所以平面∥平面，
所以平面內的任一條直線都與平面平行．
故當點是線段中點時，過點,,所在平面內的任一條直線都與平面平行．          14分