Question

（2012•湖南模擬）已知向量

a

=(2sinx，

3

cosx)，

b

=(-sinx，2sinx)，函數f(x)=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=1，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意結合數量積的定義可得f（x）的解析式，由整天法可求單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件可得f(C)=2sin(2C+

π

6

)-1=1（2C+

π

6

）=1，進而可得C=

π

6

，結合余弦定理和ab=2

3

結合可解答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx=
-1+cos2x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)．（5分）
所以f（x）的單調增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件可得f(C)=2sin(2C+

π

6

)-1=1（2C+

π

6

）=1
∵C是三角形內角，∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

，（7分）
∴cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

，即a²+b²=7． （9分）
將ab=2

3

代入可得a2+

12

a2

=7，解之得：a²=3或4，
∴a=

3

或2，∴b=2或

3

，（11分）
∵a＞b，∴a=2，b=

3

． （12分）

點評：本題為三角函數和解三角形的綜合應用，涉及余弦定理，屬中檔題．