Question

（1）設(shè)、是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較與的大小；

（2）設(shè)為正數(shù)，且，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)證明見解析．

【解析】

試題分析：(1)比較兩個(gè)數(shù)的大小，一般是用作差法，，下面就是確定與0的大小，是一個(gè)二次三項(xiàng)式，因此我們可用配方法配方，，由于不全為零，因此，從而有

；另外本題實(shí)質(zhì)是比較與的大小，想到基本不等式，有(時(shí)取等號(hào))，而，再討論下等號(hào)能否成立即可；(2)這是條件不等式的證明，而且已知與求證式都是對(duì)稱式，因此大膽想象等號(hào)成立時(shí)，各字母應(yīng)該相等，事實(shí)上也正是在時(shí)取等號(hào)，接下來考慮不等式的證明，關(guān)鍵是條件怎么應(yīng)用，這里我們償試把中的分子的1全部用代換 ，有，把這個(gè)分式展開重新分組為，下面易證．

試題解析：（1）解法1：-==      3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304304156918042/SYS201405030431057253169077_DA.files/image025.png">、是不全為零的實(shí)數(shù)，所以，即>。     6分

解法2：當(dāng)時(shí)， ；          2分

當(dāng)時(shí)，作差：；

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304304156918042/SYS201405030431057253169077_DA.files/image025.png">、是不全為零的實(shí)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，>。

綜上，>。         6分

（2）證明：當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)3。          7分

作差比較：

 

．

所以，           14分

考點(diǎn)：(1)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小；(2)條件不等式的證明．