Question

設

a

=(1+cosα，sinα)，

b

=(1-cosβ，sinβ)，

c

=(1，0)，α∈(0，π)，β∈（π，2π），

a

與

c

的夾角為θ₁，

b

與

c

的夾角為θ₂，且θ₁-θ₂=

π

6

；
（1）用α，β表示cosθ₁，cosθ₂；
（2）求sin

α-β

4

的值．

Answer 1

分析：（1）由α和β的范圍，得到sinα和sinβ的正負，進而得到1+cosα和1-cosβ的正負，從而確定兩向量所在的象限，然后利用平面向量的數量積運算法則化簡

a

•

c

，再根據平面向量的夾角公式即可表示出cosθ₁，同理可表示出cosθ₂；
（2）根據（1）表示出的cosθ₁和cosθ₂，由角的范圍可表示出θ₁和θ₂，代入已知的等式θ₁-θ₂=

π

6

，即可求出

α-β

4

的度數，利用特殊角的三角函數值即可求出sin

α-β

4

的值．

解答：解：（1）∵α∈（0，π），β∈（π，2π），
∴sinα＞0，sinβ＜0，又1+cosα＞0，1-cosβ＞0，
∴

a

在第一象限，

b

在第四象限，
∴

a

•

c

=1+cosα=|

a

||

c

|cosθ₁=

(1+cosα)2+sin2α

cosθ₁，
∴cosθ₁=

1+cosα

2(1+cosα)

=

1+cosα 2

=

cos2 α 2

=|cos

α

2

|=cos

α

2

，
則θ₁=

α

2

，
又

b

•

c

=1-cosβ=|

b

||

c

|cosθ₂=

(1-cosβ)2+sin2β

cosθ₂，
∴cosθ₂=

1-cosβ

2(1-cosβ)

=

1-cosβ 2

=|sin

β

2

|=sin

β

2

=cos（

β

2

-

π

2

），
則θ₂=

β

2

-

π

2

；
（2）由θ₁-θ₂=

π

6

，將（1）表示出的θ₁和θ₂代入得到

α

2

-（

β

2

-

π

2

）=

π

6

，即

α-β

2

=-

π

3

，
所以

α-β

4

=-

π

6

，
則sin

α-β

4

=sin（-

π

6

）=-sin

π

6

=-

1

2

．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，數量積表示兩向量的夾角，二倍角的余弦函數公式及二次根式的化簡，熟練掌握平面向量的數量積運算法則及數量積表示兩向量的夾角是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．