Question

（2013•昌平區一模）已知函數：
①f（x）=-x²+2x，
②f（x）=cos（

π

2

-

πx

2

），
③f（x）=|x-1|

1

2

．則以下四個命題對已知的三個函數都能成立的是（　�。�
命題p：f（x）是奇函數；       
命題q：f（x+1）在（0，1）上是增函數；
命題r：f（

1

2

）＞

1

2

；            
命題s：f（x）的圖象關于直線x=1對稱．

A．命題p、q

B．命題q、s

C．命題r、s

D．命題p、r

Answer 1

分析：①中函數是二次函數，由二次函數的對稱軸是x=1且開口向下，即能判出函數是非奇非偶函數，由函數在（1，+∞）上的單調性可知向左平移1個單位后的單調性；
②中的函數經誘導公式化簡后變為sin

π

2

x，然后逐一對四個命題進行判斷；
③中的函數直接利用奇偶性定義判斷奇偶性，求出f（x+1）可判出f（x+1）為偶函數，從而得到在（0，1）上是增函數，利用圖象平移判出函數f（x）的對稱軸．

解答：解：①函數f（x）=-x²+2x圖象是開口向下的拋物線，對稱軸方程是x=1，所以該函數不是奇函數；函數f（x）在
（1，+∞）上為減函數，而函數f（x+1）的圖象是把函數f（x）的圖象左移1個單位得到的，所以函數f（x+1）在（0，1）上是減函數；
f(

1

2

)=-(

1

2

)2+2×

1

2

=

3

4

＞

1

2

；f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
②f（x）=cos（

π

2

-

πx

2

）=sin

π

2

x，該函數是定義在R上的奇函數；f（x+1）=sin

π

2

(x+1)=cos

π

2

x，
當x∈（0，1）時，

π

2

x∈(0，

π

2

)，所以f（x+1）在（0，1）上是減函數；f(

1

2

)=cos(

π

2

-

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

＞

1

2

；當x=1時，f(1)=sin

π

2

=1，所以f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
③f（x）=|x-1|

1

2

，由于f(-x)=|-x-1|

1

2

=|x+1|

1

2

≠|x-1|

1

2

=f（x），所以f（x）不是奇函數；
f（x+1）=|x+1-1|

1

2

=|x|

1

2

，在（0，1）上是增函數；f(

1

2

)=|

1

2

-1|

1

2

=(

1

2

)

1

2

=

2

2

＞

1

2

；
因為f(x+1)=|x|

1

2

是偶函數，圖象關于x=0對稱，所以f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
綜上，對三個函數都成立的命題是r和s．
故選C．

點評：本題考查了命題的真假的判斷與應用，考查了復合函數的奇偶性，單調性及對稱性，考查了函數值的計算，解答此題的關鍵是熟練掌握函數圖象的平移，此題是基礎題．